Espacios vectoriales

 

Espacios vectoriales

 

 

 

 

 

STEPHANNY GARCIA CABARCAS

 

 

 

 

 

 

INTITUCION UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO

FACULTAD DE INGENIERIA

TECNOLOGÍA EN DESARROLLO DE SOFTWARE

2020

 

1.    Qué son los espacios vectoriales.

El espacio puede ser la extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la parte que ocupa un objeto sensible. Vectorial, por su parte, es lo perteneciente o relativo a los vectores Este término, de origen latino, refiere al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u orientación. La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo. Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la dirección cardinal. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas.

 

2.    Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

·         Ley de composición interna : si   Ū y  ṽ  son vectores de V, entonces (Ū+ ṽ) está en V

·         Propiedad conmutativa: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces Ū+ ṽ = ṽ + Ū

·         Propiedad asociativa: si Ū, ṽ y ŵ son vectores de V, entonces Ū +( ṽ + ŵ)=( Ū + ṽ)+ ŵ

·         Existencia del elemento neutro: existe un vector V, denominado vector nulo, tal que para cualquier vector Ū de V:Ō + Ū = Ū+ Ō= Ū

·         Existencia del elemento inverso aditivo: para todo vector Ū de V existe un vector – Ū en V, denominado opuesto de Ū tal que Ū+( Ū) = (-Ū)+ Ū = Ō

·         Ley de composición externa:  si A: es cualquier número real y Ū es cualquier vector de V, entonces (A. Ū) está en V

·         Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de vector: si  A: es cualquier número real y Ū y ṽ son vectores de V, entonces A*( Ū+ ṽ)=A* Ū+A* ṽ

·         Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A y B son cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces (A+B)* Ū=A* Ū+B* Ū

·         Asociatividad mixta: si A y B son cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces A*(B* Ū)= (A*B)* Ū=B*(A* Ū)

·         Identidad: si Ū es cualquier vector de V, entonces 1* Ū= Ū

 

 

3.    Qué es un subespacio vectorial.

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. WW es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Ejemplo

W = { (x1,x2)∈ R2 : x2 = 3x1 } ¿es un subespacio de R2?

Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el triple de la primera: (x1,3x1) = x1 (1,3)

W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.

Para decidir si W es un subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso. Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio sencillo para determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, es el que sigue.

 

4.    Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

La condición (a) asegura que W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0V0V está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0V0V no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.

·         Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.

·         Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para W porque éste es un subconjunto de V. Puede decirse que W “hereda” esas propiedades de V.

·         Faltaría comprobar que cada vector de W tiene su opuesto en W (axioma 5 de espacios vectoriales):

Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,

c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Si tomamos k=–1k=–1, resulta:

Para cada u∈W,(–1)u=–u∈W        

Y por lo tanto cada vector de W tiene su opuesto en W. De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que W es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de V.

 

5.    Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Recordemos que un subespacio es un espacio vectorial en sí mismo, por lo tanto podemos hallar una base y su dimensión. Si S es un subespacio de V, entonces: dim(S)≤dim(V). Veamos cuáles son las dimensiones de los distintos tipos de subespacios de R3:

·         {(0,0,0)}{(0,0,0)}

·         Rectas que pasan por el origen,

·         Planos que pasan por el origen y R3

Sabemos que R3 tiene dimensión 3.

S={(0,0,0)} no tiene base y como habíamos dicho, se le asigna dimensión 0. dim({0V})=0

 

Consideremos un plano que pase por el origen, por ejemplo:

π:x+3y–2z=0 x=–3y+2z

(x,y,z) ∈π ⇔ (x,y,z) = (–3y+2z,y,z) = (–3y,y,0) +(2z,0,z) =y (–3,1,0)+z(2,0,1)

 

Esto quiere decir que cualquier vector en ese plano se puede escribir como combinación lineal de (–3,1,0)(2,0,1). Cómo son LI: {(–3,1,0),(2,0,1)}esunabasedeS1 dim(S1)=2

Los planos que pasan por el origen son subespacios de dimensión 2. Ahora consideremos el subespacio:

 

S2= {(x,y,z) ∈R3| x+y = 0 , x–y–z=0}       

X + y = 0               π1,    π1∩π2=r       x-y-z  = 0                  π2

 

La intersección de dos planos no paralelos es una recta. ¿Cómo podemos encontrar una base de una recta?

y=–x

⇒x–(–x)–z=0⇒z=2x

Si llamamos x=tx=t , resulta:

(x,y,z)  =  (t,–t,2t)  =  t(1,–1,2)

 

Observamos que todos los vectores de la recta pueden expresarse como combinación lineal del vector director (1,–1,2) que además es LI Por lo tanto, {(1,–1,2)} es una base de este subespacio.

 

Las rectas que pasan por el origen son subespacios de dimensión 1.

En los ejemplos anteriores observamos cómo disminuye la dimensión de un subespacio a medida que agregamos ecuaciones, tal como se muestra en el siguiente cuadro:

V=R3