Espacios
vectoriales
STEPHANNY
GARCIA CABARCAS
INTITUCION
UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO
FACULTAD
DE INGENIERIA
TECNOLOGÍA
EN DESARROLLO DE SOFTWARE
2020
1.
Qué son los espacios vectoriales.
El espacio puede ser la
extensión que contiene la materia existente, la capacidad de un lugar o la
parte que ocupa un objeto sensible. Vectorial, por su parte, es lo
perteneciente o relativo a los vectores Este término, de origen latino, refiere
al agente que transporta algo de un lugar a otro o a aquello que permite
representar una magnitud física y que se define por un módulo y una dirección u
orientación. La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la
estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple
con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante
una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre
dicho conjunto y un cuerpo. Es importante tener en cuenta que todo espacio
vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a
su vez, presentan la dirección cardinal. Un espacio vectorial es un conjunto no
vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones:
la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas.
2.
Enumere los 8 axiomas para comprobar si un
conjunto es un espacio vectorial.
·
Ley de composición interna : si Ū y ṽ son vectores de V, entonces (Ū+ ṽ) está en V
·
Propiedad conmutativa: si Ū y ṽ son vectores
de V, entonces Ū+ ṽ = ṽ + Ū
·
Propiedad asociativa: si Ū, ṽ y ŵ son
vectores de V, entonces Ū +( ṽ + ŵ)=( Ū + ṽ)+ ŵ
·
Existencia del elemento neutro: existe un
vector V, denominado vector nulo, tal que para cualquier vector Ū de V:Ō + Ū =
Ū+ Ō= Ū
·
Existencia del elemento inverso aditivo: para
todo vector Ū de V existe un vector – Ū en V, denominado opuesto de Ū tal que
Ū+( Ū) = (-Ū)+ Ū = Ō
·
Ley de composición externa: si A: es cualquier número real y Ū es
cualquier vector de V, entonces (A. Ū) está en V
·
Propiedad distributiva del producto de un
escalar por un vector con respecto a la suma de vector: si A: es cualquier número real y Ū y ṽ son
vectores de V, entonces A*( Ū+ ṽ)=A* Ū+A* ṽ
·
Propiedad distributiva del producto de un
escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A y B son
cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces (A+B)* Ū=A*
Ū+B* Ū
·
Asociatividad mixta: si A y B son cualquier
par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces A*(B* Ū)= (A*B)* Ū=B*(A*
Ū)
·
Identidad: si Ū es cualquier vector de V,
entonces 1* Ū= Ū
3.
Qué es un subespacio vectorial.
En álgebra abstracta, un
espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto
no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades
fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y
a los elementos del cuerpo, escalares. Sea V un espacio vectorial y W un
subconjunto no vacío de V. WW es un subespacio de V si W es en sí mismo un
espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por
un escalar) definidas en V.
Ejemplo
W = { (x1,x2)∈ R2 : x2 = 3x1 } ¿es un
subespacio de R2?
Primero analicemos el
conjunto W. Son todos vectores de R2 tales que la segunda componente es el
triple de la primera: (x1,3x1) = x1 (1,3)
W es la recta que pasa por
el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.
Para decidir si W es un
subespacio de R2 habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10.
El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso. Pero en general no
es necesario verificar los axiomas porque existe un criterio sencillo para
determinar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, es
el que sigue.
4.
Enumere las tres propiedades que permiten
probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.
La condición (a) asegura que
W no es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar
primero si contiene al vector nulo. Si 0V0V está en W, entonces deben
verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0V0V no está en W, W no puede ser un
subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.
·
Las propiedades a, b y c corresponden a los
axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.
·
Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio
vectorial se cumplen para W porque éste es un subconjunto de V. Puede decirse
que W “hereda” esas propiedades de V.
·
Faltaría comprobar que cada vector de W tiene
su opuesto en W (axioma 5 de espacios vectoriales):
Teniendo en cuenta la
condición (c) de subespacios,
c. Si u está en W y k es un
escalar, ku está en W.
Si tomamos k=–1k=–1,
resulta:
Para cada u∈W,(–1)u=–u∈W
Y por lo tanto cada vector
de W tiene su opuesto en W. De las observaciones anteriores se deduce que las
condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que W es un espacio
vectorial, y por lo tanto subespacio de V.
5. Explique
cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.
Recordemos
que un subespacio es un espacio vectorial en sí mismo, por lo tanto podemos
hallar una base y su dimensión. Si S es un subespacio de V, entonces:
dim(S)≤dim(V). Veamos cuáles son las dimensiones de los distintos tipos de
subespacios de R3:
·
{(0,0,0)}{(0,0,0)}
·
Rectas
que pasan por el origen,
·
Planos
que pasan por el origen y R3
Sabemos que R3 tiene
dimensión 3.
S={(0,0,0)} no tiene
base y como habíamos dicho, se le asigna dimensión 0. dim({0V})=0
Consideremos un plano
que pase por el origen, por ejemplo:
π:x+3y–2z=0 x=–3y+2z
(x,y,z) ∈π ⇔ (x,y,z) = (–3y+2z,y,z) = (–3y,y,0)
+(2z,0,z) =y (–3,1,0)+z(2,0,1)
Esto
quiere decir que cualquier vector en ese plano se puede escribir como
combinación lineal de (–3,1,0)(2,0,1). Cómo son LI: {(–3,1,0),(2,0,1)}esunabasedeS1
dim(S1)=2
Los
planos que pasan por el origen son subespacios de dimensión 2. Ahora
consideremos el subespacio:
S2=
{(x,y,z) ∈R3| x+y
= 0 , x–y–z=0}
X
+ y = 0 π1, π1∩π2=r x-y-z
= 0 π2
La
intersección de dos planos no paralelos es una recta. ¿Cómo podemos encontrar
una base de una recta?
y=–x
⇒x–(–x)–z=0⇒z=2x
Si
llamamos x=tx=t , resulta:
(x,y,z) =
(t,–t,2t) = t(1,–1,2)
Observamos
que todos los vectores de la recta pueden expresarse como combinación lineal
del vector director (1,–1,2) que además es LI Por lo tanto, {(1,–1,2)} es una
base de este subespacio.
Las
rectas que pasan por el origen son subespacios de dimensión 1.
En
los ejemplos anteriores observamos cómo disminuye la dimensión de un subespacio
a medida que agregamos ecuaciones, tal como se muestra en el siguiente cuadro:
V=R3
